Desigualdades

En matemáticas, una desigualdad es una relación que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

La notación a < b significa a es menor que b;

La notación a > b significa a es mayor que b;

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;

La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;

La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Reglas para desigualdades

Si un mismo número es sumado o restado en ambos lados de la desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica:
si a < b, entonces a + c < b + c
Por ejemplo: 3 < 5, de modo que 3 + 7 < 5 + 7

Si ambos lados de una desigualdad son multiplicados o divididos por  el mismo número positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica:
si a < b y c > 0, de modo que ac < bc y a/c < b/c

Por ejemplo: 3 < 7 y 2 > 0, de modo que 3(2) < 7(2) y 3/2 < 7/2

Si ambos lados de la desigualdad son multiplicados o divididos por el mismo número negativo, entonces la desigualdad tendrá el sentido contrario de la original. En forma simbólica:
si a < b y c < 0, entonces a(-c) > b(-c) y a/-c > b/-c

Por ejemplo: 4 < 7 pero 4(-2) > 7(-2) y 4/-7 > 7/-2

Cualquier lado de la desigualdad puede ser reemplazado por una expresión equivalente. En forma simbólica:
si a < b y a = c, entonces c < b
Por ejemplo, si x < 2 y x = y + 4, entonces y + 4 < 2.

Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, entonces sus recíprocos respectivos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con sentido contrario de la original.
Por ejemplo, 2 < 4 pero ½ > ¼el recíproco de un número a diferente de cero está definido cómo 1/a.

Si ambos lados de una desigualdad son positivos y elevados cada uno a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.
Por tanto 0 < a < b y n > 0, entonces aⁿ < bⁿ